Minorantenkriterium

[JohntherippA]

Hi ich schon wieder.
Ich bin da auf ein Problem mit dem Minorantenkriterium gestoßen.
Und zwar das hier.

SUMME (1 / sqrt(n*(n+1))

in der Lösung steht

(1 / sqrt(n*(n+1)) > 1/2n

Wiso kann man das so einfach sagen. Was das Minorantenkriterium besagt ist mir klar. Nur warum ist das erste größer als das 2te und warum divergiert 1/2n ?

Danke

[mj']

Hey, zum 1. Teil der Frage:

[tex]\frac{1}{sqrt{n(n+1)}} > \frac{1}{2n} [/tex]
[tex]\Longleftrightarrow {sqrt{n(n+1)}} < 2n[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow {sqrt{n}}*{sqrt{n+1}} < 2n [/tex]
[tex]\Longleftrightarrow n^{0,5} * (n+1)^{0,5} * n^{-1} < 2[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow n^{-0,5} * (n+1)^{0,5} < 2[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \frac{sqrt{n+1}}{sqrt{n}} < 2[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow sqrt{\frac{n+1}{n}} < 2[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow sqrt{1+ \frac{1}{n}} < 2[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow 1 + sqrt{ \frac{1}{n}} < 2 [/tex]

was offensichtlich stimmt.

Zum 2. Teil:

[tex]\frac {1}{2n} = \frac{1}{2} [/tex][tex]* \frac{1}{n}[/tex]

Da in diesem Fall

[tex]\frac{1}{n}[/tex]

die harmonische Reihe ist und diese bekanntlich divergiert und desweiteren der Grenzwert eines Produktes gleich dem Produkt der Grenzwerte des Multiplikators und des Multiplikanden ist, divergiert auch

[tex]\frac {1}{2n}[/tex]

Ich hoffe ich habe kein Müll gelabert, bin auch erst im 1. Semester

Gruß
Micha

[JohntherippA]

ich dachte immer 1/n konvergiert gegen 0 ?

[mj']

Die Folge ja, die Reihe (harmonische Reihe) divergiert, hab leider gerade keinen Beweis zur Hand, da war irgendwas mit dem Gruppieren einzelner Summanden und dort sieht man, dass immer mehr als 0,5 aufaddiert werden oder so, aber ist auch nicht so wichtig.

Wichtig ist halt, dass:

[tex]\sum_{k=1}^N \frac {1}{k}[/tex]

immer divergiert.