Abbildung-> Polynome nach sonst was ;)

[Consumer whore]

Hi.

Ich komm irgendwie nicht weiter wenn ich Polynome habe und die auf etwas abbilden soll. Da hab ich kein Plan ob die nun Injektiv oder Surjektiv sind.

http://www.tu-harburg.de/ins/lehre/uebu ... a1_05l.pdf
Aufgabe 4 habe ich verstanden und ich weis auch das ich dann den Rang der entstanden Matrix beahten muss.

Ich verstehe aber nicht wie das bei sollchen Aufgaben aussiecht:



// Edit irgendwie scheint directupload grad net zu funzen...



Wie Bilde ich da die Abbildungs Matrix um dann zuschauen ob sie injektiv oder surjektiv ist :S?

[:)]

okay, ich versuch's mal...

nr. 1: linear ist eine abbildung wenn folgendes gilt:
T(a+b) = T(a) + T(b) und
T(lamda*a) = lamda*T(a)
ist beides erfüllt.

nr. 2:
surjektiv: zu jedem y gibt es mind. ein x
injektiv: zu jedem y gibt es höchstens ein x
bijektiv: zu jedem y gibt es genau ein x
(hier x=p, y=q)

da du hier in den PI^5 abbildest, musst du schauen, ob jedes q mehrfach angenommen wird (und ob überhaupt der komplette PI^5 angenommen wird). der komplette PI^5 wird angenommen, da du p(x) mit (2+3x+x^2) multiplizierst. ausmultipliziert landest du dann bei x^5, also im PI^5. nun die frage, ob du ein q durch 2 verschiedene p erhalten kannst. da man so einen fall nicht findet, ist die abbildung nicht surjektiv.

nr. 3:
nicht injektiv, da du nicht immer den komplette R^5 erhältst. bsp: p(1)=1, p(2)=1 usw. damit hast du linear abhängige zeilen, sodass der bildraum nicht der komplette R^5 ist.

nr. 4:
jedes q wird genau einmal angenommen, daher ist die abbildung bijektiv (=injektiv+surjektiv)

edit: keine garantie auf richtigkeit x) ich hätte selbst wohl auch nicht jede frage richtig beantwortet, doch diese erklärungen könnte ich mir für die antworten vorstellen^^

[Consumer whore]

dank dir.

Aber das hilft mir irgendwie net weiter :S
Ich verstehe nicht wie genau die Abbildung aussiecht.
Bei P auf P' war das klar.
Da hat ich 1->0 /// x->1 /// x²->x
und konnte dammit eine Abbildungsmatrix erstellen.
Ich habe aber kein Plan wie ich so eine Matrix erstelle wenn das jetzt net grad P->P² oder P->P' ist :S
Also jetzt bei Polynomen hab ich das Problem ich blick da net ganz durch.

nr. 3:
nicht injektiv, da du nicht immer den komplette R^5 erhältst. bsp: p(1)=1, p(2)=1 usw. damit hast du linear abhängige zeilen, sodass der bildraum nicht der komplette R^5 ist.

Hm versteh ich net :S. Ich dachte das P gleich ( 1+x+x²+x³+x^4+x^5) ist und ich in dem Fall P(1) für x einfach eins einsetze und für P(2) halt 2.
Würde also nicht 1 und 1 für beide raus bekommen :S

[Ulf]

Vielleicht helfen Dir etwas unmathematische Erklärungen weiter

Zu 1: Ist linear, da das Polynom lediglich mit einem konstanten Faktor multipliziert wird.

Zu 2: Eine Abbildung von einem vierdimensionalen in einen sechsdimensionalen Vektorraum kann niemals surjektiv sein.

Zu 3: Eine Abbildung von einem sechsdimensionalen Vektorraum in einen fünfdimensionalen Vektorraum kann niemals injektiv sein.

Zu 4: Aus p(x) = ax²+bx+c folgt q(x) = 2ax+b. Es können also alle Geraden erzeugt werden, womit die Abbildung surjektiv ist. Injektiv kann sie dagegen nicht sein!

Wozu willst Du irgendwelche Matrizen erstellen?

[Consumer whore]

Nice danke

Also das mit den Unterschiedlichen Dimensionen und deren Wirkungen war mir noch garnet bewusst
Kommt jetzt sofort auf meinen Zettel! Hab halt immer ne Matrix gemacht und von der konnt ich ja schnel den Rang ausrechnen.

Ich verstehe nur noch 4. net ganz :S. Also ich bekomme für q(x) was anderes raus und zwar q(x)=2ax-a+b
Sehe aber durchaus, dass das eine Gerade beschreibt. Mir ist jetzt aber nicht klar warum das deswegen Nun Surjektiv ist bzw. warum das nicht Injektiv sein kann
Das noch mal bitte erklärt und ich habs dann glaub ich ganz durchblickt


/// bzw. kurze Nachfrage. das bei 2. und 3. geht net weil der eine Raum größer als der Andere ist und umgekert und nicht weil der eine "gerade" und der Andere "ungerade" ist?

/// Ah jetzt hab ich 4 verstanden^^ yau danke euch beiden hab das Themo nun glaub ich drauf.

[:)]

...ich will dir deine euphorie nicht nehmen, aber mit "ich kann mathe" wäre ich vorsichtig ich schreib dienstag auch mathe (1. semester iiw) und glaube kaum, dass das leicht wird, auch wenn ich alles ganz gut verstanden hab

edit: bei einer gerade wird jeder y-wert einmal angenommen. also ist die abbildung bijektiv und somit auch injektiv - oder nicht? oO

[ingmar]

surjektiv heißt die abbildung, "wenn jeder y-wert durch deine funktion angenommen werden kann". dabei ist es eigal, ob dieser funktionswert auch mehrfach angenommen wird. Eine Gerade geht einmal von -unendlich bis +unendlich, es wird also jeder y-wert angenommen. eine gerade ist außerdem injektiv, da jeder funktionswert höchstens einmal angenommen wird.
das alles gilt zumindest für ne abbildung in den reellen zahlen.

[Consumer whore]

hehe jo sach ja net das ich alles kann nur das ich das hier verstanden habe^^

Schreib jetzt im dritt Versuch und ja man merkt was man so net Wusste die ganze Zeit

[Ulf]

Hier geht es nicht um die Gerade an sich, sondern eine Parabel wird auf eine Gerade abgebildet. Die Frage ist nun, ob jede Gerade (nicht jeder y-Wert) durch diese Abbildung erzeugt werden kann. Die Antwort ist ja, deswegen ist die Abbildung surjektiv. Erkennen tut man das am Ergebnis der Subtraktion (in der Tat 2ax-a+b), das als Geradengleichung aufgefasst werden kann. Es gibt aber zwangsläufig den Fall, dass verschiedene Parabeln auf die gleiche Gerade abgebildet werden, weil von einem dreidimensionalen Vektorraum auf einen zweidimensionalen Vektorrraum abgebildet wird. Deswegen kann diese Abbildung nicht injektiv sein! Man sieht ja auch, dass das c gar nicht vorkommt im Ergebnis. Also wird eine um c nach oben verschobene Parabel auf die gleiche Gerade abgebildet.