Zentraler Grenzwertsatz

[Bismarck]

Ich habe hier eine kleines Verständnisproblem. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Zentraler Grenzwertsatz:
Die Summe von beliebig verteilten stetigen Zufallsvariablen konvergiert mit wachsender Anzahl der Summanden immer gegen eine Normalverteilung, wenn nicht irgendeine Zufallsvariable besonders "durchschlägt"

Ich habe meine Probem mit dem Wort Summe. Bedeutet das, dass ich irgendeine Verteilung habe da eine Sample der Größe sagen wir mal n=10 rausnehme diese Werte zusammenaddiere und dass 1000 mal wiederhole und das Ganze nähert sich einer Normalverteilung?

Beinhaltet Summe hier auch den Mittelwert? Mittelwert ist ja am Ende auch nur ne Summe, die durch eine Konstant (konstante Samplegröße) dann jedes Mal geteilt wird. Wenn die Summe normalverteilt ist, müsst doch auch der Mittelwert nomalverteilt sein...?

Vielen Dank
Bismarck

[NetFalcon]

Ich habe hier eine kleines Verständnisproblem. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Ich habe meine Probem mit dem Wort Summe. Bedeutet das, dass ich irgendeine Verteilung habe da eine Sample der Größe sagen wir mal n=10 rausnehme diese Werte zusammenaddiere und dass 1000 mal wiederhole und das Ganze nähert sich einer Normalverteilung?

Ja.

Beinhaltet Summe hier auch den Mittelwert? Mittelwert ist ja am Ende auch nur ne Summe, die durch eine Konstant (konstante Samplegröße) dann jedes Mal geteilt wird. Wenn die Summe normalverteilt ist, müsst doch auch der Mittelwert nomalverteilt sein...?

Vielen Dank
Bismarck

Hm. Ja - aber "beinhaltet" ist vllt das falsche Wort. Man findet in Definitionen wahrscheinlich öfter die Variante des Mittelwertes der Samples, aber natürlich gilt die Variante mit der Summe genauso. Ob man nun die Häufigkeit der Mittelwerte (der Samples) analysiert und merkt: Oh Normalverteilung, oder ob man nun die Summen der Samples untersucht und merkt: Oh, Normalverteilung.

Die Message ist vereinfacht gesagt erstmal die: Anfängliche Distribution ist (fast) völlig egal - am Ende sieht man eine Normalverteilung.

[Bismarck]

Danke NetFalcon.

Denkst du, dass ich mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes auch folgende Behauptung aufstellen kann:

z.B. Riss in einem Flugzeugflügel.
Die EInflussfaktoren (Variablen), warum sich ein Riss im Flügel ausbreitet sind zahlreich. (z.B Gleitebenen, Fremdatome, Belastung usw. ) All diese Variablen sind beliebig verteilt und sagen wir mal keiner diese Variablen schlägt besonders durch, sprich alle sind zufällige Fehler. All diese kleinen Fehler von diesen bekannt und unbekannetn Variablen summieren sich also auf. Ich nehme dann sagen wir mal 1000 mal Samples, die ja jeweils aus einer finiten Anzahl von bekannten und unbekannten Einflussgrößen bestehn und kann deswegen behaupten, dass die Dichtefunktion von der Rissausbreitung im Flügel einer Gauß- Funktion nahe kommt.

Nochmals Danke

[NetFalcon]

hm, hab ein bisschen darüber nachgedacht. Bin mir unsicher, glaube nicht, dass es das ist was du suchst:

Beispiel Würfel: Alle Wahrscheinlichkeiten sind gleichverteilt 1/6.

Nun wende ich das Gesetz an. Sampleset size ist 10 (Ich würfle also 10mal)

Und Sample Size ist 1000

1. sample(3,4,5,2,4,3,5,1,1,5) = Summe: 33
2. sample(1,1,3,5,4,2,6,6,3,2) = Summe: 33
...
...
1000. sample(2,4,3,3,5,6,2,1,2,4) = Summe: 32

Das Gesetz besagt nun (und man kann es hier schon sehen, weil meine Würfelungen waren Zufallszahlen), dass die Summe um einen bestimmten Wert Normalverteilt ist. Wahrscheinlich um den Wert 30.

Es ist auch klar, denn die Wahrscheinlichkeit 10 mal die Sechs zu Würfeln und die Summe 60 zu bekommen, sowie 10*1 und 10 zu bekommen ist ja sehr viel unwahrscheinlicher.

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Jetzt zu dem Riß, und warum ich skeptisch bin.

1. Eine Rißausbreitung selbst hat eine Gewisse Wahrscheinlichkeit. (k.p 0.0002 ) - davon mal abgesehen. Das sei jetzt egal.

Wenn sie dieser Riß ausbreitet, dann ist die Ursache (sagen wir mal es gibt nur 5 Gründe) mit
0.2 Gleitebene, 0.2 Fremdatome, 0.2 Belastung, 0.2 Gott, 0.2 Satan

Was du jetzt sagst, ist dass ja die Summe von Verschiedenen Faktoren den Riß ausbreitet.


Was du aber haben willst ist ja:

1 Riß: Mehrere Faktoren
d.h es gibt sauviele verschiedene Rißauslöser (Summanden):

zB:

Gleit+Fremd+Gott+Satan;
Gleit+Belastung+Gott+Satan;
Gleit+Belastung+Gott;
Gleit+Fremd;
Gleit+Satan;
Fremd+Belastung+Gott+Satan;
Fremd+Belastung;
Fremd


d.h.
samplesset size von 10, 1000 samples wäre ja: (10 mal habe ich einen Riß entdeckt, und 10 mal schreibe ich auf was der Auslöser war, dann mache ich das 1000 mal)

1.sample (Fremd,Fremd+Belastung,Gott+Satan,Gott,Gott+Satan,Gleit,...)
...
1000. sample (Gott, Gott+Satan, Gleit,...)


Und der zentrale Grenzwertsatz sagt jetzt:
Normalverteiltung um zB:

(Fremd+Belastung)+(Fremd+Gott+Satan)+(Gleit+Fremd)... etc.

Also die Summe von 10 Rißauslösungen die in den 1000 Experimenten am häufigsten vorkamen.

Ich glaube nicht, dass es das ist was du suchst.

(Wenn es jeweils nur 1 Faktor pro Riß ist, dann hast du am Ende eine Normalverteilung um sowas wie:

Gleit+Gott+Gott+Satan+Fremd+Gleit (also mehrere Faktoren tauchen gleichzeitig auf...

Das ist glaube ich auch nicht das, was du suchst.

Bin mir leider unsicher ob es so nicht funktioniert, oder doch könnte, oder ob man es anders lösen kann... ich mache zuwenig mit dem Thema. Auch aufgrund der Uhrzeit, sage ich lieber mal, dass alles hier ohne Gewähr ist.
Vielleicht findest du noch jemanden der dir sagt was der richtige Weg ist.