3D Computer Vision Material

[Dennis Worry]

Hi Mat,

danke.

Was ist eigentlich gefragt bei Aufgabe 2a - Fundamental Matrix und Essential Matrix ?

Der Einzige Ausdruck fuer die neuen Projeciton Matrices den ich finde ist P' = [e']_x * F | e' ... was wollen die den da wissen ?

[Mat]

Hmm.. meine Interpretation:

"Zu zeigen", dass F nur eindeutig ist bis zu einer beliebigen invertierbaren Homography [tex]H[/tex], da:

[tex]\tilde{X} = HX[/tex]
[tex]\tilde{P} = PH^{-1}[/tex]
[tex]\tilde{P}' = PH^{-1}[/tex]

Denn die Projektion [tex]X[/tex] auf [tex]x[/tex] bleibt unter [tex]H[/tex] erhalten:

[tex]\tilde{P}\tilde{X} = PH^{-1}HX = PX = x[/tex]
[tex]\tilde{P}'\tilde{X} = P'H^{-1}HX = P'X = x'[/tex]

[Dennis Worry]

Wie viele Correspondences sind nun notwendig fuer die Bestimmung bestimmter Transformationen ? Fuer die Essential und Fundamental Matrix z.B. sind es fest 5 bzw 7 Korrespondenzen, unabhaengig davon ob wir uns nun im P2 oder im P3 befinden.

Sind fuer eine Aehnlichkeitstransformation im P2 2 Korrespondenzen ausreichend ? Dann waeren es im P3 dementsprechend DOF=6 also 3 Korrespondenzen... ?

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Bei der Aufgabe Basic Calculaitons, frage ich mich immer wieder ob die Definition der DIstanz und der Partitionierung im Skript korrekt ist


Fuer Points und Planes im P3 sind die indices der Partitionierung vertauscht:

Xo|Xh fuer points
[tex]\pi_{h} | \pi_{0}[/tex] fuer planes

Das gleiche bei L:ines und Dual lines.

Bei der Distanz wiederum wird immer durch den Betrag des homogenen Teils geteilt.

Ist das richtig so ?

[Mat]

Das ist halt der Unterschied zwischen den beiden Interpretationen eines Vektors hier.

Z.b. Punkt und Linie:

Der "Punktvektor" steht halt für (skalierten) euklidischen Punkt und man für die euklidische Distanz nur den Skalierungsfaktor entfernen.

Der "Linienvektor" definiert die Linie halt durch alle Punkte, die orthogonal zu ihm sind (also in P² die Ebene, auf der er steht). Die Linie selbst ist dann der Schnitt dieser Ebene mit der euklidischen (Bild-)Ebene in P². Wenn man nun die Distanz genauso berechnen würde, wie bei einem "Punktvektor", was sollte die dann sinnvolles Aussagen? Es ist ja kein Punkt.

Für die similarity transformation sollten es 2 in P² und 3 und P³ sein. Aber wie kommst du auf DOF 6 in P³?

Die Transformation hat in P³:
- 3 Winkel
- den Skalierungsfaktor s
- 3 Positionsveränderungen...

Also 7 DOF (siehe Folie 111)...

[Dennis Worry]

Das ist halt der Unterschied zwischen den beiden Interpretationen eines Vektors hier.

Z.b. Punkt und Linie:

Der "Punktvektor" steht halt für (skalierten) euklidischen Punkt und man für die euklidische Distanz nur den Skalierungsfaktor entfernen.

Der "Linienvektor" definiert die Linie halt durch alle Punkte, die orthogonal zu ihm sind (also in P² die Ebene, auf der er steht). Die Linie selbst ist dann der Schnitt dieser Ebene mit der euklidischen (Bild-)Ebene in P². Wenn man nun die Distanz genauso berechnen würde, wie bei einem "Punktvektor", was sollte die dann sinnvolles Aussagen? Es ist ja kein Punkt.

Für die similarity transformation sollten es 2 in P² und 3 und P³ sein. Aber wie kommst du auf DOF 6 in P³?

Die Transformation hat in P³:
- 3 Winkel
- den Skalierungsfaktor s
- 3 Positionsveränderungen...

Also 7 DOF (siehe Folie 111)...

Ja, ich habe einen Winkel vergessen beim tippen vorhin - es gibt 3 Rotationen im P3 nicht 2.

Die Distanz des Punktes im Falle (0,2,0) waere dann aber infinity , korrekt ?

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Bie einer der Aufgaben sollen beide Vektoren der Epipole bestimmt werden (Maerz 2013).

F ist jedoch nicht inwertierbar, die Gleichung

[tex]e'^{T}*F*x = 0[/tex] hat unendlich viele Loesungen fuer e'. Wie soll ich da e und e' berechnen ?

[Mat]

Sollte für (0,2,0) stimmen (zumindest würde ich das auch schreiben), da der Punkt ja at infinity ist.

[tex]e'[/tex] und [tex]e[/tex] sind die linken und rechten Nullräume von [tex]F[/tex] (also [tex]Fe = 0[/tex] und [tex]F^\top e' = 0[/tex]). Dies folgt aus [tex]{x'}^\top Fx = 0[/tex], [tex]l' = Fx[/tex], [tex]l = {F}^\top x'[/tex] und das [tex]e[/tex] und [tex]e'[/tex] auf allen epipolar lines [tex]l[/tex], [tex]l'[/tex] liegen.

Wie man sehen kann, ist das gegebene [tex]x = e[/tex], da [tex]Fx = 0[/tex] und [tex]e'[/tex] ist (-2 0 1).

Siehe auch Folie 275.

[Johnny_Kanone]

Könnt Ihr mir bei den typischen Dimensions and DOF of matrices Aufgaben (z.B. Aufgabe 3 SoSe 2014) weiterhelfen? Insbesondere die letzte Spalte mit der minimum number of calibration points macht mir Probleme. Wie bekommen ich da die Lösung?

Was ich bisher habe:

Entity | Matrix Dimensions | DOF | min. calibration points
Intrinsic Matrix K | 3x3 | ? | ?
Projection Matrix P | 3x4 | ? | 6
Projective transform P3 | 4x4 | 15 | ?
Affine transform P3 | 4x4 | 12 | ?
Quadric Q | 4x4 | 9 | ?
Conic C | 3x3 | 5 | ?
Fundamental Matrix F | 3x3 | 7 | ?
Essential Matrix E | 3x3 | 5 | ?

Ist das soweit korrekt?

[Dennis Worry]

Meine Ergaenzungen sind FETT:

Entity | Matrix Dimensions | DOF | min. calibration points
Intrinsic Matrix K | 3x3 | 6 | ?
Projection Matrix P | 3x4 | 11 | 6 WOHER ?
Projective transform P3 | 4x4 | 15 | ?
Affine transform P3 | 4x4 | 12 | ?
Projective transform P2 | 3x3 | 8 | ?
Affine transform P2 | 3x3 | 6 | ?
Quadric Q | 4x4 | 9 | ?
Conic C | 3x3 | 5 | ?
Fundamental Matrix F | 3x3 | 7 | 7, 8 with DLT
Essential Matrix E | 3x3 | 5 | ?

Zu den noetigen correspondenzen finde ich null quellen. Ich denke, dass man im p2 halt immer 2 Gleichungen bekommt pro korrespondenz und im p3 3, aber im Klartext steht das auch nciht im internetz.

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WIe ist das im rectified system : kann man dann sagen, dass di eepipole zu epipolarlinien degenerieren, da die epipole in einer gemeinsamen Ebene liegen ? Die Image plane ist dann ja eine gemeinsame Ebene, und die projection centers liegen auch auf einer linie.

[Mat]

Entity | Matrix Dimensions | DOF | min. calibration points
Intrinsic Matrix K | 3x3 | 5 ? | 3
Projection Matrix P | 3x4 | 11/12 ? | 6
Projective transform P3 | 4x4 | 15 | 5
Affine transform P3 | 4x4 | 12 | 4
Quadric Q | 4x4 | 9 | 9
Conic C | 3x3 | 5 | 5
Fundamental Matrix F | 3x3 | 7 | 7
Essential Matrix E | 3x3 | 5 | 5

Wenn du eine Homography H suchst, die [tex]x' = Hx[/tex] erfüllt, dann bekommst aus jeder Komponente von x = ([tex]\lambda x\:\lambda y\:\dots\:\lambda[/tex]) (außer der Skalierung [tex]\lambda[/tex]) eine Gleichung... Das [tex]\lambda[/tex] verwendest du zum Einsetzen (siehe Folie 204), daher ergeben Korrespondenzen in [tex]P^n[/tex] n Gleichungen (bei n + 1 Komponenten).

Wenn du aber einen Conic hast, dann liegt ein Punkt auf dem Conic (oder eine Linie berührt den Conic), wenn [tex]x^\top C x = 0[/tex] erfüllt ist (siehe Folie 116), daher gibt dir jeder Punkt nur eine Gleichung.

Was die Intrinsic Matrix und die Projektionsmatrix angeht.. bin ich mir auch unschlüssig. Die Projektionsmatrix hat entweder 11 oder 12 DOF.... Prof Grigat rechnet immer mit 12 Werten.... (Folie 204) und ich neige auch eher zu 12... Allerdings hat er mal in einer "Übung" bei der MAtrix DOF 11 an die Tafel geschrieben.

Tjo.. und zur Intrinsic Matrix steht nirgendwo was wirklich schlüssiges. Folie 246 lässt vermuten, dass man drei Punkte braucht. Die DOF müssten, wenn man nach der Form der Matrix urteilt, 5 sein.

WIe ist das im rectified system : kann man dann sagen, dass di eepipole zu epipolarlinien degenerieren, da die epipole in einer gemeinsamen Ebene liegen ? Die Image plane ist dann ja eine gemeinsame Ebene, und die projection centers liegen auch auf einer linie.

Die epipoles sind at infinity (auf der BAseline zwischen den Kamerazentren)... und wenn du von seinem Beispiel (Folie 389 - 392) ausgehst (nur translation auf der x-Achse) sind sie auf der x-Achse.

[Mat]

Minimal solution: Since the matrix P has 12 entries, and (ignoring scale) 11 degrees
of freedom, it is necessary to have 11 equations to solve for P . Since each point correspondence leads to two equations, at a minimum 5,5 such correspondences are required to solve for P .

Daher 6 Korrespondenzen...


Vielleicht auch ganz hilfreich, weil das wohl schon einmal gefragt wurde:

The trifocal tensor consists of three 3 × 3 matrices, and thus has 27 elements. There are therefore 26 independent ratios apart from the (common) overall scaling of the matrices. However, the tensor has only 18 independent degrees of freedom. In other words once 18 parameters are specified, all 27 elements of the tensor are determined up to a common scale. The number of degrees of freedom may be computed as follows. Each of 3 camera matrices has 11 degrees of freedom, which makes 33 in total. However, 15 degrees of freedom must be subtracted to account for the projective world frame, thus leaving 18 degrees of freedom. The tensor therefore satisfies 26 − 18 = 8 independent algebraic constraints.