Infos zu Verkehrstheorie gesucht

[MadmanNero]

Da da auch steht "mean rate with which customers leave the system" würd ich sagen ich lieg da schon richtig. Nimmt man das "mean" weg, dann ist das die Rate mit der die Kunden das System verlassen.[/quote]

[HisDudeness]

Was du da gefunden hast, hab ich auch schon gesehen, dabei handelt es sich aber um den "Durchschnittlichen Durchsatz" und nach dem wurde soweit ich sehe nicht gefragt. Ich kann das nur anhand deiner Aufgaben beurteilen, da ich selbst leider keine alten Klausuren habe, bis auf die eine offizielle .

Geh mal in StudIP in die Vorlesung "Queueing Theory for Communication Networks (WS 06/07)" - da gibt es immerhin die Klausuren WS05, SS06, WS06
Ich bin in sechs verschiedene QT-Veranstaltungen eingetreten, um an alle relevanten Dateien zu kommen - Wie ich dieses System liebe

Ansonsten habe ich die Klausuren aus dem DDD - wenn du die noch haben willst, müsstest du mir mal ne PN mit der E-Mail schicken, dann kann ich die morgen mal durch den Scanner jagen - aber eigentlich sind die Aufgaben immer die gleichen.

[MadmanNero]

Sorry, nehme das zurück. Bei wikipedia steht das zwar auch so wie ich das dachte, ich hab da aber noch in ein schlaues qt-Buch geschaut. Da wird das was er im Skript als mean throughput definiert ganz normal als throughput definiert. Somit hast Du da recht. Durchsatz ist in M/M/1/inf also λ.

[HisDudeness]

Sorry, nehme das zurück. Bei wikipedia steht das zwar auch so wie ich das dachte, ich hab da aber noch in ein schlaues qt-Buch geschaut. Da wird das was er im Skript als mean throughput definiert ganz normal als throughput definiert. Somit hast Du da recht. Durchsatz ist in M/M/1/inf also λ.

Ja, Eigentlich kann Durchsatz doch sinnvoll immer nur als Durchschnitt angegeben werden - und der Durchsatz muss ja immer abhängig von den Ankünften sein. Wenn keine Kunden da sind, spielt die Servicerate keine Rolle, der Durchsatz wird dann immer 0 sein. Außerdem ist μ ja auch nur ein Durchschnittswert.
Wie auch immer, das war eh nur eine Multiple-Choice-Frage, bei der gar keine Begründung gefordert war - aber schön, dass wir's trotzdem geklärt haben

[HisDudeness]

Ich bin noch auf eine Frage gestoßen, auf die ich bisher keine Antwort weiß:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ohne Wartezeit bedient zu werden, wenn man ein M/D/1-System hat?

Idee?

[MadmanNero]

Nö, dazu hab ich im Moment noch keine Idee, hab Deine Frage aber auch grad erst bemerkt.

Ich hab mal die Klausuren SoSe06 und WiSe0607 durchgerechnet und Stimme da mit Dir soweit überein. Bei SoSe06 Aufgabe 5 hast Du dich vertan. Es müssen 2ms Delaytime sein, ist aber nur Kleinkram.

Die Aufgabe 6 habe ich folgendermassen gelößt:

1.
Gleichgewichtsgleichungen:
0 = P1*μ - P0*λ => P1 = P0*ρ
0 = P2*μ - P1*λ => P2 = P1*ρ
0 = P0*λ + P3*μ - P2*λ (Weiss nicht ob er die auch sehen wollte)

Daraus folgt dann:
P0 = p0
P1 = p0*ρ
P2 = p0*(ρ^2)

2.
Wenn man die Gleichgewichtsgleichungen für ein beliebiges n aufstellt erhält man:
0 = P(n-2)*λ - Pn*λ + P(n+1)*μ

Wenn man dann statt (n+1) z.B. m schreibt folgt:
Pm = (P(m-3) - P(m-1))*(λ/μ) => Pn = (P(n-3) - P(n-1))*ρ

3.
Damit das System stabil ist muss wohl gelten λ ≤ 0,5.

Alles natürlich ohne Gewähr

[MadmanNero]

Ich bin noch auf eine Frage gestoßen, auf die ich bisher keine Antwort weiß:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ohne Wartezeit bedient zu werden, wenn man ein M/D/1-System hat?

Idee?

Folgende Idee:

Die Wahrscheinlichkeit in einem M/D/1-System ohne Wartezeit bedient zu werden müsste der Wahrscheinlichkeit entsprechen, mit der die Ankunftszeit (Interarrival time) größer der Bedienzeit ist, denn ist die Interarrival time kleiner als die Bedienzeit muss der zweite Kunde auf den ersten, der ja noch bedient wird warten.

[HisDudeness]

Folgende Idee:

Die Wahrscheinlichkeit in einem M/D/1-System ohne Wartezeit bedient zu werden müsste der Wahrscheinlichkeit entsprechen, mit der die Ankunftszeit (Interarrival time) größer der Bedienzeit ist, denn ist die Interarrival time kleiner als die Bedienzeit muss der zweite Kunde auf den ersten, der ja noch bedient wird warten.

Das klingt mir zu kompliziert Irgendwie muss man das ja auch noch rechnen können... und große Rechnungen sind ja eigentlich in den Klausuren nie gefordert. Ich mach mir da später noch mal Gedanken drüber.
Ich habe mir auch gerade mal Gedanken über die Aufgabe mit den Batch-Ankünften gemacht. Meine ersten Überlegungen waren da am Anfang wohl viel zu kompliziert, ich hatte da die ganze Zeit versucht, irgendwas mit einer M^[X]/M/1-Queue zu machen. Aber man muss wohl einfach nur aus dem Diagramm die Gleichungen ablesen.
Aber ich glaube, deine Lösung stimmt da nicht ganz, da fehlen ja einige Sachen. Ich denke, die richtige Lösung müsste sein:

[tex]\begin{tabular}{lll} \text{Zustand 0:} & \ 0 = \mu \cdot p_1 - \lambda \cdot p_0 & \ \Rightarrow\ p_1 = \rho \cdot p_0\\\\ \text{Zustand 1:} & \ 0 = \mu \cdot p_2 - \lambda \cdot p_1 - \mu \cdot p_1 & \ \Rightarrow\ p_2 = \displaystyle\frac{\lambda + \mu}{\mu} \cdot p_1 = \displaystyle\frac{\lambda^2 + \lambda \cdot \mu}{\mu^2} p_0 = (\rho+1) \cdot \rho \cdot p_0\\\\ \text{Zustand 2:} & \ 0 = \mu \cdot p_3 + \lambda \cdot p_0 - \lambda \cdot p_2 - \mu \cdot p_2 & \ \Rightarrow\ p_3 = \displaystyle\frac{(\lambda + \mu) \cdot p_2 - \lambda \cdot p_0}{\mu} = (\rho +1) \cdot p_2 - \rho \cdot p_0 = (\rho + 1)^2 \rho \cdot p_0 - \rho \cdot p_0\\\\ \text{Zustand n:} & \ 0 = \mu \cdot p_{n+1} + \lambda \cdot p_{n-2} - \lambda \cdot p_n - \mu \cdot p_n & \ \Rightarrow\ p_{n+1} = \displaystyle\frac{(\lambda + \mu) \cdot p_n - \lambda \cdot p_{n-2}}{\mu} = (\rho +1) \cdot p_n - \rho \cdot p_{n-2}\ \ \Leftrightarrow p_n = (\rho +1) p_{n-1} - \rho \cdot p_{n-3} \end{tabular}[/tex]

Und wie kommst du auf [tex]\lambda \leq 0.5[/tex]? Ich würde sagen, es muss gelten: [tex]\lambda < 0.5 \mu[/tex]. Oder meintest du das?

[HisDudeness]

Folgendes zur Wartezeit beim M/D/1-System:
Im Skript gibt es auf Seite 102 das Beispiel 13.5 (Zu den Pollaczek-Khintchine Transform-Gleichungen )

Da geht es um ein M/D/1-System und es werden die einzelnen Zustandswahrscheinlichkeiten ausgerechnet. Da steht:
[tex]\pi_0 = 1-\rho[/tex]
Das Ergebnis finde ich unerwartet - ich hätte gedacht, wenn sich die durchschnittliche Wartezeit halbiert wäre auch die Wahrscheinlichkeit größer, das System leer vorzufinden. Aber anscheinend ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht.

[HisDudeness]

Noch eine letzte Frage: Hast du dir mal die Klausur vom Frühjahr 03 angesehen? Die letzte Aufgabe ist da:

Für die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion eines M/G/1-Systems haben wir die folgende Formel abgeleitet:

[tex]\Pi(z) = \displaystyle\frac{(1-\rho)(1-z)(\overline{b} (\lambda(1-z))}{\overline{b}(\lambda(1-z))-z}[/tex]

Benutzen Sie diese Formel, um die mittlere Anzahl der Kunden in einem M/M/1-System herzuleiten.
Hinweis: Nutzen Sie die beigefügte Tabelle (das sind die Standard-Laplace-Transformationen).

In der Musterlösung ist der Ansatz:[tex] \Large \displaystyle\frac{\Pi(z)}{1-\rho} = \displaystyle\frac{(1-z) \frac{\mu}{\mu+\lambda (1-z)}}{\frac{\mu}{\mu+\lambda (1-z)} - z}[/tex]

Offensichtlich gilt also [tex]\overline{b} (\lambda(1-z)) = \frac{\mu}{\mu+\lambda (1-z)}[/tex] Aber wie kommt man darauf?
b soll die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Servicezeit sein, für die Aufgabe müsste das dann ja eine exponential-Verteilung sein. Aber was man da jetzt wie transformiert, um auf das Ergebnis zu kommen, sehe ich irgendwie noch nicht.

edit: Ich habs jetzt doch verstanden, weiß gar nicht, wieso ich das so lange nicht gesehen habe.

Die Interarrival-Zeiten sind ja exponential verteilt, also gilt:
[tex]b(t) = \mu e^{-\mu t} \Rightarrow \overline{b}(z)= \mu \frac{1}{z + \mu} \text{ (laut Tabelle)}[/tex]
Wenn man jetzt [tex]s = \lambda(1-z)[/tex] einsetzt, hat man sofort den gewünschten Term.
Damit sind bei mir jetzt alle Klarheiten beseitigt
Und wenn ich mal vernünftig tippen könnte, würde auch ein edit reichen