Beispiel des auf 6 Stäben gelagerten Tisches
(Vorlesung vom 23.04.03 / Script Static S.20)
Das Moment ist ja definiert als
M_P = r x F ; mit r: Vektor vom Bezugspunkt P zum Angriffspunkt der Kraft F
Wegen der Definition des Kreuzproduktes gilt:
M_P = r * F sin(alpha) ; alpha: Winkel zwischen r und F.
Wenn alpha = 90° ist, gilt
M_P = r * F
Jetzt zum Beispiel des Tisches:
Im Script auf S. 20 ist schlüssig die Berechnung der Momente dargelegt. In der Vorlesung hat Prof. Meyer aber auf diesen Rechenweg über das Kreuzprodukt verzichtet und hat gleich die Gleichungen
Summe M_x_P = 0 = ...
Summe M_y_P = 0 = ...
Summe M_z_P = 0 = ...
aufgeschrieben. Wenn ich davon ausgehe, daß er die Zwischenschritte aus dem Script einfach weggelassen hat, stellt sich die Frage, wie man auf direktem Wege zu diesen Ergebnissen kommt.
Mein Problem sind die Vorzeichen. Meine Regel (s.u.) greift zwar bei der x- und z-Richtung (in der Vorlesungsmitschrift), bei der y-Richtung allerdings nicht. Indem man die dort stehende Summengleichung auf beiden Seiten mit (-1) multiplizieren würde, würde dies zwar meine Regel erfüllen. Dennoch scheint mir dieser Schritt nicht gewollt.
Meine Vorstellung war eigentlich gewesen, dass man bei M = S * a ("*", da 90°) das S mit einem "-" versieht, wenn der S-Pfeil es entgegen dem Koordinatensystem gerichtet ist, beim a genauso. Nach Berücksichtigung der Minuszeichen erhält man so ein Linksdrehung der Koordinatensystemachse, wenn man die Kraft über den Hebelarm wirken läßt. Diese Schraubendrehung stimmt mit der mathematischen Vorstellung überein. In diese Erklärung fügt sich die Zeile für die y-Richtung aber nicht ein. Wenn ich die "-" für die S und a bzw b wie oben setze, dann erhalte ich eine falsche Drehrichtung. Was ist hier falsch bzw. wie bekomme ich die drei Momentgleichungen mit einer einheitlichen Begründung?
Mechanik für ET: Frage (Dreh-)Momente
Moderator: (M) Mod.-Team Allgemein
-
martyn
Kreuzprodukt
Alle Überlegungen sind bzgl. des Kreuzproduktes und der Drehrichtung von Momenten grundsätzlich richtig. Eiine falsche Überlegung ist es jedoch, das Vorzeichen des Ortsvektors ebenfalls umzudrehen.
Grundsätzlich gilt:
a) Momentengleichung über das Kreuzprodukt aufzustellen ist vorteilhaft, wenn man sich um die Drehrichtung keine Gedanken machen will. Das Vorzeichen ergibt sich automatisch aus dem Kreuzprodukt.
b) Komponentenweise Aufstellung der Momentengleichung in x, y, z-Richtung erfordert eine einheitliche Vorzeichenkonvention. Die positive Drehrichtung (links- oder rechtsherum) ist einem selbst überlassen, Hauptsache man zieht sie für die entsprechende Komponente (x,y,z) einheitlich durch. Eine sinnvolle Regel ist es, nach der Rechten-Hand-Regel, Momente immer positiv zu zählen, wenn diese rechts um die Drehachse drehen.
In der Vorlesung wurden die Momentengleichungen wahllos, mal links- mal rechtsdrehend aufgestellt. Wie Sie aber festgestellt haben, können sie die Gleichungen mal -1 nehmen und sie sind auch optisch identisch. Mathematische sind sie es so oder so.
Ich hoffe, die Antwort hilf Ihnen weiter, ansonsten noch einmal melden.
Burkhard
Grundsätzlich gilt:
a) Momentengleichung über das Kreuzprodukt aufzustellen ist vorteilhaft, wenn man sich um die Drehrichtung keine Gedanken machen will. Das Vorzeichen ergibt sich automatisch aus dem Kreuzprodukt.
b) Komponentenweise Aufstellung der Momentengleichung in x, y, z-Richtung erfordert eine einheitliche Vorzeichenkonvention. Die positive Drehrichtung (links- oder rechtsherum) ist einem selbst überlassen, Hauptsache man zieht sie für die entsprechende Komponente (x,y,z) einheitlich durch. Eine sinnvolle Regel ist es, nach der Rechten-Hand-Regel, Momente immer positiv zu zählen, wenn diese rechts um die Drehachse drehen.
In der Vorlesung wurden die Momentengleichungen wahllos, mal links- mal rechtsdrehend aufgestellt. Wie Sie aber festgestellt haben, können sie die Gleichungen mal -1 nehmen und sie sind auch optisch identisch. Mathematische sind sie es so oder so.
Ich hoffe, die Antwort hilf Ihnen weiter, ansonsten noch einmal melden.
Burkhard
-
Johann
Ja, ich glaube, das hat geholfen. 
Das Problem löst sich ganz einfach, wenn man in der Gleichung M = S * a erst einmal S, a als Beträge annimmt und bei Aufstellung der Gleichgewichtsgleichung die "-" / "+" so verwendet, dass sich eine einheitliche Drehrichtung pro Gleichung ergibt. Diese kann dann per *(-1) umgedreht werden und daher die eigentliche Richtung nicht relevant. Diese Regel deckt sich dann mit der Vorlesung. Äquivalent dazu ist die Vorstellung, die "a" als Betrag zu sehen und die "S" jeweils per Vorzeichen so zu drehen, dass die Richtung pro Gleichung konstant ist.
Das Problem löst sich ganz einfach, wenn man in der Gleichung M = S * a erst einmal S, a als Beträge annimmt und bei Aufstellung der Gleichgewichtsgleichung die "-" / "+" so verwendet, dass sich eine einheitliche Drehrichtung pro Gleichung ergibt. Diese kann dann per *(-1) umgedreht werden und daher die eigentliche Richtung nicht relevant. Diese Regel deckt sich dann mit der Vorlesung. Äquivalent dazu ist die Vorstellung, die "a" als Betrag zu sehen und die "S" jeweils per Vorzeichen so zu drehen, dass die Richtung pro Gleichung konstant ist.