DGL 2 / Mathe 4 iv Anleitung 4 Aufgabe 15

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dipl.ing
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DGL 2 / Mathe 4 iv Anleitung 4 Aufgabe 15

Beitrag von dipl.ing » Fr, 10. Aug. 12, 16:56

Hallo Leute,
ich habe leider die Anleitung zu Blatt 4 verpasst und kriege jetzt die Lösung der Beispielaufgabe 15 nicht hin:
Wie berechnet er die 4 Koeffizienten aus zwei Gleichungen??? Oder kann man eine Annahme treffen und die Zahl der Koeffizienten halbieren (wenn ja welche Annahme und warum?)

War jemand da und hat das mitgeschrieben (oder vielleicht hats ja auch jemand verstanden und kann mir helfen)?!

Danke

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Beitrag von slmndr » Fr, 10. Aug. 12, 17:04

Ueber den Koeffizientenvergleich, zB wenn du sowas hast
3x^2+2x+5=A0+A1*x+A2*x^2
dann muessen A0=5, A1=2 und A2=3 sein weil die x^n linear unabhaengig sind. In deinem Fall sind es die sin(k phi) bzw cos, die l.ua. sind. Alles klar?

btw da muesste ein Fehler im Plot sein, da steht im Argument vom 2. sin in der Funktion ein p. Richtig ist aber 2*p wegen k=2. Nicht dass du drueber stolperst^^
Zuletzt geändert von slmndr am Fr, 10. Aug. 12, 17:44, insgesamt 1-mal geändert.

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Beitrag von dipl.ing » Fr, 10. Aug. 12, 17:43

mh.
Mir ist schon klar, dass ich einen Koeffizientenvergleich machen muss mit der allgemeinen Lösung und den vorgegebenen Randwerten. Mein Problem ist ja aber, dass ich nicht genügend Gleichungen habe um die Koeffizienten zu bestimmen.
Meine allgemeine Lösung lautet:
[tex]u(r,\varphi)=A_{0}+B_{0}\ln\left|r\right|+\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}r^{k}+C_{k}r^{-k}\right)\cos(k\varphi)+\left(B_{k}r^{k}+D_{k}r^{-k}\right)\sin(k\varphi)[/tex]

und damit bleiben mir die beiden Gleichungen

[tex]9B_{2}+\frac{1}{9}D_{2}=\frac{65}{144} [/tex]
[tex]2A_{1}+\frac{1}{2}C_{2}=1[/tex]

[tex]A_0[/tex] und [tex]B_0[/tex] konnte ich auflösen zu
[tex]A_0 = -\frac{\ln2}{\ln\frac{3}{2}} [/tex]
[tex]B_{0}=\frac{1}{\ln\frac{3}{2}}[/tex]

aber aus den beiden Gleichungen davor kann ich ja nicht die 4 Unbekannten bestimmen.
In der Lösung von Blatt 4 steht da was mit Gleichungssystemen, die er in Matrizen schreibt und irgendwas macht, was sich mir überhaupt nicht erschließt..

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Beitrag von slmndr » Fr, 10. Aug. 12, 17:54

dipl.ing hat geschrieben:mh.
Mir ist schon klar, dass ich einen Koeffizientenvergleich machen muss mit der allgemeinen Lösung und den vorgegebenen Randwerten. Mein Problem ist ja aber, dass ich nicht genügend Gleichungen habe um die Koeffizienten zu bestimmen.
Meine allgemeine Lösung lautet:
[tex]u(r,\varphi)=A_{0}+B_{0}\ln\left|r\right|+\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}r^{k}+C_{k}r^{-k}\right)\cos(k\varphi)+\left(B_{k}r^{k}+D_{k}r^{-k}\right)\sin(k\varphi)[/tex]

und damit bleiben mir die beiden Gleichungen

[tex]9B_{2}+\frac{1}{9}D_{2}=\frac{65}{144} [/tex]
[tex]2A_{1}+\frac{1}{2}C_{2}=1[/tex]

[tex]A_0[/tex] und [tex]B_0[/tex] konnte ich auflösen zu
[tex]A_0 = -\frac{\ln2}{\ln\frac{3}{2}} [/tex]
[tex]B_{0}=\frac{1}{\ln\frac{3}{2}}[/tex]

aber aus den beiden Gleichungen davor kann ich ja nicht die 4 Unbekannten bestimmen.
In der Lösung von Blatt 4 steht da was mit Gleichungssystemen, die er in Matrizen schreibt und irgendwas macht, was sich mir überhaupt nicht erschließt..
Also die erste Randbedingung [tex]u(2,\varphi) = \cos \varphi[/tex] führt auf
[tex]\cos \varphi = A_0 + B_0 \ln 2 + (2A_1 + (1/2)B_1)\sin\varphi + (2C_1 + (1/2)D_1)\cos\varphi + (4A_2 +(1/4)B_2)\sin 2\varphi + (4C_2 + (1/4)D_2)\cos 2\varphi[/tex]
Daraus bekommst du:
[tex]A_0 + B_0 \ln 2 = 0[/tex] (gehören nicht zum cos phi!)
[tex]2A_1 + (1/2)B_1 = 0[/tex] (gehören nicht zum cos phi!)
[tex]2C_1 + (1/2)C_1 = 1[/tex] (gehören zum cos phi)
[tex]4A_2 + (1/4)B_2 = 0[/tex] (gehören nicht zum cos phi!)
[tex]4C_2 + (1/4)D_2 = 0[/tex] (gehören nicht zum cos phi!)
Also insgesamt 5 Gleichungen. Für die zweite Randbedingung bekommst du auch nochmal 5. Du darfst nicht vergessen, dass die Parameter, die nix zum cos phi "beitragen", in der Summe null sein müssen!

Jetzt klar? Sonst frag nochmal :)

Achso und die Gleichungssysteme ergeben sich dann, weil du für jedes Paar (A1, B1), (C1, D1) zwei Gleichungen hast -> insgesamt 5 Gleichungssysteme.

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Beitrag von dipl.ing » Fr, 10. Aug. 12, 18:05

oh ich hatte mich verschrieben.
Die zweite zu lösende Gleichung sollte lauten
[tex]2\cdot A_1 + \frac {1}{2} C_1 = 1[/tex] (Index war falsch)
und wenn das stimmt, dann hast du auch einen Indexfehler in der Gleichung, die bleibt, da sie zu [tex]\cos(\varphi)[/tex] gehört. Die müsste genauso lauten, wie meine korrigierte hier.

Und dann weiß ich halt nicht, wie ich daraus die zwei Koeffizienten [tex]A_1[/tex] und [tex]C_1[/tex] berechnen soll, denn es ist ja nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
(seh ich den wald vor bäumen nicht oder was ist da los?)

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Beitrag von slmndr » Fr, 10. Aug. 12, 18:10

Mein B ist dein C, das stimmt schon so. Du hast doch noch die zweite Randbedingung, die dir wieder 5 Gleichungen liefert.

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Beitrag von dipl.ing » Fr, 10. Aug. 12, 18:15

Ich glaube jetzt sehe ich meinen Fehler. Ich habe einfach bei dem k aufgehört, bei dem der gewünscht Faktor im sin bzw. cos Term erreicht war, und habe daher die Gleichungen, bei denen die Summer der Koeffizienten Null wird vernachlässigt (nach dem Motto wenn die Summe Null ist müssen auch die Summanden Null sein ... )

Dennoch müsste deinen Gleichung falsch sein, sie müsste lauten
[tex]2C_1 + \frac {1}{2} D_1 = 1 [/tex]

Danke für die Geduld gegen meine Engstirnigkeit ;)

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Beitrag von dipl.ing » Fr, 10. Aug. 12, 18:38

Vielleicht kannst du noch kurz mein Ergebnis vergleichen?!
[tex]u(r,\varphi)=\frac{\ln2}{\ln\frac{3}{2}}-\frac{1}{\ln\frac{3}{2}}\cdot\ln r+\left(\frac{2r}{3}-\frac{3}{2r}\right)\cos(\varphi)+\left(\frac{325r^{2}}{81}-\frac{325}{81r^{2}}\right)\sin(2\varphi)[/tex]

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Frage

Beitrag von Diaa » Fr, 10. Aug. 12, 18:47

Mir sind beim Rechnen der Aufgaben auch einpaar Fragen aufgekommen, wäre sehr nett, wenn mir jemand behilflich sein könnte:S

1. In Blatt 2 Aufgabe 6: Wie berechnet man den kurzen Lösungsweg, also wie kommt zB bei u(t) von -2C1exp(t) zu C1exp(t)?
2. Wie wird das Maximumprinzip angewendet (z.B. am Beispiel der Anleitung für Blatt 4 Aufgabe 16)??

Besten Dank!

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Re: Frage

Beitrag von slmndr » Fr, 10. Aug. 12, 19:13

Diaa hat geschrieben:Mir sind beim Rechnen der Aufgaben auch einpaar Fragen aufgekommen, wäre sehr nett, wenn mir jemand behilflich sein könnte:S

1. In Blatt 2 Aufgabe 6: Wie berechnet man den kurzen Lösungsweg, also wie kommt zB bei u(t) von -2C1exp(t) zu C1exp(t)?
2. Wie wird das Maximumprinzip angewendet (z.B. am Beispiel der Anleitung für Blatt 4 Aufgabe 16)??

Besten Dank!
1. Ob da jetzt -2C1 oder C1 steht ist egal. Das C1 kann sich ja sowieso beliebig ändern. Formal korrekt ist es aber nicht, meistens macht man bei einer "Vereinfachung" noch so eine ~ Tilde über eines der Cs drüber, sodass du zwei verschiedene Konstanten hast.

2. Immer wenn eine harmonische Funktion vorliegt, liegen Minima und Maxima auf den Rändern, d.h. wenn der Rand des Definitionsbereiches r=5 ist, dann musst du nur noch gucken, was das Maximum/Minimum an diesem RAND ist (also hängt das nur noch von phi ab z.B.)

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