Hallo Leute,
ich hoffe jemand von euch kann mir meine Vermutung, dass es einen Fehler in folgender Klausurlösung gibt bestätigen. Oder jemand erklärt mir, wie man die PDGs richtig umschreibt:
LINK ZUR KLAUSUR
Aufgabe 1 a) : wie kommen die auf die -2 beim −(0,2)∇u dafür müsste dort doch eigentlich ein [tex]-2 u_y[/tex] in der Gleichung stehen, oder nicht?
Vielen Dank im Voraus.
Matrixschreibweise PDG
Moderator: (M) Mod.-Team Allgemein
Abzielen tut die Aufgabe auf die 3. Anleitung von Rothe mit der Matrix-Schreibweise http://www.math.uni-hamburg.de/teaching ... 3t_dgl.pdf.
Wenn man die Formel nimmt und auf die Klausuraufgabe 1a) anwendet:
[tex]$\nabla^{T} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \\ \end{pmatrix} \nabla u + \left( d - \nabla^{T} \begin{pmatrix} a\\ b \\ \end{pmatrix}, e - \nabla^{T} \begin{pmatrix} b\\ c \\ \end{pmatrix} \right) \nabla u + fu = g$[/tex]
mit [tex]a=y[/tex], [tex]b=x[/tex], [tex]c=y[/tex], [tex]d=0[/tex], [tex]e=0[/tex], [tex]f=0[/tex], [tex]g=42[/tex]:
[tex]$\nabla^{T} \begin{pmatrix} y & x \\ x & y \\ \end{pmatrix} \nabla u + \underbrace{\left( - \nabla^{T} \begin{pmatrix} y\\ x \\ \end{pmatrix}, - \nabla^{T} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix} \right)}_{\left(0,-2\right)} \nabla u = 42$[/tex]
weil [tex]- \nabla^{T} \begin{pmatrix} y\\ x \\ \end{pmatrix} = -\left(\frac{\partial}{\partial x} y + \frac{\partial}{\partial y} x\right) = 0[/tex] und [tex]- \nabla^{T} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix} = -\left(\frac{\partial}{\partial x} x + \frac{\partial}{\partial y} y\right) = -(1 + 1) = -2[/tex]
Also alles in bester Ordnung
Du hast natürlich auch recht, wenn man den "bösen" Term weiter umformt:
[tex]\left(0,-2\right) \nabla u = \left(0,-2\right) \begin{pmatrix} u_x\\ u_y \\ \end{pmatrix} = -2 u_y [/tex]
kommt da wirklich etwas heraus, was so nicht in der Ausgangsgleichung drin steht. Aber Multipliziere mal die Matrix wieder aus und du wirst sehen, dass dort der "gegenteilige" Term vorkommt:
[tex]\nabla^{T} \begin{pmatrix} y & x \\ x & y \\ \end{pmatrix} \nabla u = y \cdot u_{xx} + u_{y} + 0 + u_{y} + y \cdot u_{yy} = y \cdot u_{xx} + \underbrace{2 u_{y}}_{\textrm{hebt sich auf}} + y \cdot u_{yy}[/tex]
Wenn man die Formel nimmt und auf die Klausuraufgabe 1a) anwendet:
[tex]$\nabla^{T} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \\ \end{pmatrix} \nabla u + \left( d - \nabla^{T} \begin{pmatrix} a\\ b \\ \end{pmatrix}, e - \nabla^{T} \begin{pmatrix} b\\ c \\ \end{pmatrix} \right) \nabla u + fu = g$[/tex]
mit [tex]a=y[/tex], [tex]b=x[/tex], [tex]c=y[/tex], [tex]d=0[/tex], [tex]e=0[/tex], [tex]f=0[/tex], [tex]g=42[/tex]:
[tex]$\nabla^{T} \begin{pmatrix} y & x \\ x & y \\ \end{pmatrix} \nabla u + \underbrace{\left( - \nabla^{T} \begin{pmatrix} y\\ x \\ \end{pmatrix}, - \nabla^{T} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix} \right)}_{\left(0,-2\right)} \nabla u = 42$[/tex]
weil [tex]- \nabla^{T} \begin{pmatrix} y\\ x \\ \end{pmatrix} = -\left(\frac{\partial}{\partial x} y + \frac{\partial}{\partial y} x\right) = 0[/tex] und [tex]- \nabla^{T} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix} = -\left(\frac{\partial}{\partial x} x + \frac{\partial}{\partial y} y\right) = -(1 + 1) = -2[/tex]
Also alles in bester Ordnung
Du hast natürlich auch recht, wenn man den "bösen" Term weiter umformt:
[tex]\left(0,-2\right) \nabla u = \left(0,-2\right) \begin{pmatrix} u_x\\ u_y \\ \end{pmatrix} = -2 u_y [/tex]
kommt da wirklich etwas heraus, was so nicht in der Ausgangsgleichung drin steht. Aber Multipliziere mal die Matrix wieder aus und du wirst sehen, dass dort der "gegenteilige" Term vorkommt:
[tex]\nabla^{T} \begin{pmatrix} y & x \\ x & y \\ \end{pmatrix} \nabla u = y \cdot u_{xx} + u_{y} + 0 + u_{y} + y \cdot u_{yy} = y \cdot u_{xx} + \underbrace{2 u_{y}}_{\textrm{hebt sich auf}} + y \cdot u_{yy}[/tex]