Moin,
bei der Bearbeitung der 3. Aufgabe auf dem 5. Blatt, bin ich auf eine Frage geometrischer Natur gestoßen.
Es geht um die Berechnung des Drehwinkels Phi der kleinen Scheibe (R1=r) im Verhältnis zum Winkel alpha, den die Stange (R2=4r) überstreicht.
Wenn die Stange den Winkel alpha überstreicht, dann legt sie auf der Kreisbahn (Rk=R2+R1=5r), auf der das Rad rollt, x=Rk*alpha=(R2+R1)*alpha zurück.
Ein Punkt auf dem Rand der Scheibe muss doch, wenn die Scheibe nur rollt, die gleiche Strecke x zurücklegen. sprich x=R1*phi.
Nachgleichsetzen folgt doch:
phi=(Rk/R1)*alpha=((R1+R2)/R1)*alpha=(5r/r)*alpha=5*alpha
Aber in der Lösung wird aber Phi=(R2/R1)*alpha=4*alpha angegeben....
Wo liegt mein Fehler (soweit ich ihn gemacht habe)? Ich bin davon ausgegangen, dass das Teta der Scheibe, aus der Drehung resultiert....
Christoph
Mechanik für ET: Dynamik Blatt5 Aufgabe3
Moderator: (M) Mod.-Team Allgemein
N'Abend, Christoph!
Nachdem ich nun gerade eine wunderschöne lange Erklärung fertig hatte, merkte ich, daß der Schluß der Argumentation dem Anfang widersprach. Also noch einmal:
Es sieht fast so aus, als wäre die Zeile "Kinematik: ..." nicht ganz korrekt. Dort steht ja:
(mit phi' ^= dphi/dt)
r2 * phi2' = r1 * phi1' = v1
phi und v hängen von t ab, wir können also die ganze Zeile nach t integrieren:
r2 * phi2 = r1 * phi1 = x1
Dies ist ja die Formel für die Bogenlänge: b = r * alpha. Nur ist der Radius für den Ausleger ja nun nicht r2, sondern r2+r1. Das würde dein Ergebnis bestätigen.
Das Endergebnis selbst ist ja auch ein wenig merkwürdig. Die "Drehzahl" hat die Einheit einer Frequenz und ist auch so berechnet. Schön. Aber unter einer Drehzahl stellt man sich gemeinhin doch eher eine Dreh-an-zahl, also eine Geschwindigkeit vor. Aber das nur am Rande.
Nachdem ich nun gerade eine wunderschöne lange Erklärung fertig hatte, merkte ich, daß der Schluß der Argumentation dem Anfang widersprach. Also noch einmal:
Es sieht fast so aus, als wäre die Zeile "Kinematik: ..." nicht ganz korrekt. Dort steht ja:
(mit phi' ^= dphi/dt)
r2 * phi2' = r1 * phi1' = v1
phi und v hängen von t ab, wir können also die ganze Zeile nach t integrieren:
r2 * phi2 = r1 * phi1 = x1
Dies ist ja die Formel für die Bogenlänge: b = r * alpha. Nur ist der Radius für den Ausleger ja nun nicht r2, sondern r2+r1. Das würde dein Ergebnis bestätigen.
Das Endergebnis selbst ist ja auch ein wenig merkwürdig. Die "Drehzahl" hat die Einheit einer Frequenz und ist auch so berechnet. Schön. Aber unter einer Drehzahl stellt man sich gemeinhin doch eher eine Dreh-an-zahl, also eine Geschwindigkeit vor. Aber das nur am Rande.
Hi,
aber wie hängt nun die Winkelanderung der Scheibe, mit der Winkeländerung des Stabes (falls ich das so salop sagen darf) zusammen? Das Verhältnis ist ja eine Konstante, (da sich die Radien nicht ändern). Sprich beim Integrieren werden sie als Vorfaktor "mitgeschleift".
Den Rest Deiner Überlegung kann ich teilen.
aber wie hängt nun die Winkelanderung der Scheibe, mit der Winkeländerung des Stabes (falls ich das so salop sagen darf) zusammen? Das Verhältnis ist ja eine Konstante, (da sich die Radien nicht ändern). Sprich beim Integrieren werden sie als Vorfaktor "mitgeschleift".
Den Rest Deiner Überlegung kann ich teilen.
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Gast
Hallo,
Ich glaube, die Musterlösung ist doch korrekt:
Überstreicht der Stab den Winkel alpha, so legt er auf auf der Röhreninnenwand zwar die Strecke alpha*5*r zurück, das kleine Rädchen dreht sich dann aber nicht um phi=5*alpha.
Folgendes Beispiel verdeutlicht dies:
Überstreicht der Stab auf der Innenwand einmal den Umpfang des kleinen Rädchens (also 2*pi*r) so dreht sich das kleine Rädchen NICHT um 2*pi, da die Röhre gekrümmt ist. Der Drehwinkel ist daher kleiner als 2*pi. Wenn man die Differenz bei einem kompletten Umlauf des Stabes (in einer Vollröhre) betrachtet, so müsste sich das kleine Rädchen daher genau einmal weniger drehen, als man mit 5*2*pi errechnen würde.
Am einfachsten ist es (jedenfalls für mich), wenn man die Bewegung des Rädchen in der Röhre in eine Bewegung auf einem geraden Boden transformiert. Dann legt das Rädchen nämlich bei einem Stabdrehwinkel=alpha die Strecke x=alpha*4r zurück. Daraus lässt sich dann der Drehwinkel phi des Rädchens ermitteln: phi=x/r=4*alpha.
Ich glaube, die Musterlösung ist doch korrekt:
Überstreicht der Stab den Winkel alpha, so legt er auf auf der Röhreninnenwand zwar die Strecke alpha*5*r zurück, das kleine Rädchen dreht sich dann aber nicht um phi=5*alpha.
Folgendes Beispiel verdeutlicht dies:
Überstreicht der Stab auf der Innenwand einmal den Umpfang des kleinen Rädchens (also 2*pi*r) so dreht sich das kleine Rädchen NICHT um 2*pi, da die Röhre gekrümmt ist. Der Drehwinkel ist daher kleiner als 2*pi. Wenn man die Differenz bei einem kompletten Umlauf des Stabes (in einer Vollröhre) betrachtet, so müsste sich das kleine Rädchen daher genau einmal weniger drehen, als man mit 5*2*pi errechnen würde.
Am einfachsten ist es (jedenfalls für mich), wenn man die Bewegung des Rädchen in der Röhre in eine Bewegung auf einem geraden Boden transformiert. Dann legt das Rädchen nämlich bei einem Stabdrehwinkel=alpha die Strecke x=alpha*4r zurück. Daraus lässt sich dann der Drehwinkel phi des Rädchens ermitteln: phi=x/r=4*alpha.
Gehen wir mal davon aus, daß Stab wie Rad eine gleiche Strecke x abfahren / überstreichen (sollen).Malte hat geschrieben:Hallo,
Ich glaube, die Musterlösung ist doch korrekt:
Überstreicht der Stab den Winkel alpha, so legt er auf auf der Röhreninnenwand zwar die Strecke alpha*5*r zurück, das kleine Rädchen dreht sich dann aber nicht um phi=5*alpha.
Stab: x = 5r*alpha
Rad: x = r*phi
Damit: alpha = 1/5*phi FALSCH?
Oder: Schneiden wir mal die kleine Rolle auf und kleben ihren Umfang auf die Röhre. Diese Strecke ist - ob eben oder rund - 2pi*r. Damit ist nun phi = 2*pi. Überfährt nun der Stab den Kreissektor mit der Bogenlänge b = 2pi*r und nennen wir den dabei überstrichenen Winkel alpha, dann gilt b = 2pi*r = 5r*alpha. Da ja phi = 2pi war, gilt damit phi*r = 5r*alpha. Umgeformt: alpha = 1/5*phi. SCHON WIEDER FALSCH?
Hilfreich ist auch die Vorstellung, das 2 Zahnräder aneinander laufen.
Ich habe den Eindruck, dieses ganze Wirrwar entsteht dadurch, daß die Winkel alpha, phi, phi1 und phi2 nicht klar voneinander unterschieden werden. Wie würdet ihr denn phi1 und phi2 hinsichtlich der "Kinematik: ..."-Zeile verstehen und ansetzen?
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Gast
OK, ich kann es mit Worten nicht beschreiben. Daher hier ein Versuch mit Bildern (leider etwas schief):
(nachdem mein Computer abgestürzt ist, weil ich den Scanner einfach so angeschlossen hatte)
[/img]
ich habe alles einmal ausgemessen und 1:1 aufgemalt!!!
Ich rolle das kleine Rädchen einmal in der Halfpipe ab, es läuft tatsächtlich 2*pi*r (rot). Aber offentsichtlich dreht sich das Rädchen nicht um den Winkel 2*pi sondern um einen beträchtlich kleineren Winkel (2*pi - delta phi), da sich die Halfpipe "ebenfalls um das Rädchen herum windet".
Wenn ich jetzt nur die Kreislinie des Mittelpunktes betrachte und diese für die Berechnung von phi zugrunde lege, es ist ja die Strecke, die das kleine Rädchen in der Ebene rollen würde, kann ich problemlos die Formel phi=x/r=R/r*alpha=4*alpha anwenden!
(nachdem mein Computer abgestürzt ist, weil ich den Scanner einfach so angeschlossen hatte)
[/img]ich habe alles einmal ausgemessen und 1:1 aufgemalt!!!
Ich rolle das kleine Rädchen einmal in der Halfpipe ab, es läuft tatsächtlich 2*pi*r (rot). Aber offentsichtlich dreht sich das Rädchen nicht um den Winkel 2*pi sondern um einen beträchtlich kleineren Winkel (2*pi - delta phi), da sich die Halfpipe "ebenfalls um das Rädchen herum windet".
Wenn ich jetzt nur die Kreislinie des Mittelpunktes betrachte und diese für die Berechnung von phi zugrunde lege, es ist ja die Strecke, die das kleine Rädchen in der Ebene rollen würde, kann ich problemlos die Formel phi=x/r=R/r*alpha=4*alpha anwenden!
Also, bei aller Liebe: Die Strecke, die wir abrollen, ist und bleibt 1x Umfang vom Rad. Die kann entweder schnurgerade oder sonstwie verlaufen - die Strecke ist immer 1x Umfang. Und wenn du dann den Winkel, um den sich das Rad dreht, phi nennst, dann ist dieses phi_von_eine_umdrehung exakt 2*pi oder 360°. Woher käme denn sonst der Umfang U = 2*pi*r.
Noch einmal die Frage: Reden wir und die Musterlösung von den gleichen Winkeln? Wie liegen phi1 und phi2?
Was in der Musterlösung steht, heißt ja so viel wie:
Die Geschwindigkeit v1 in m/s ist gleich der Geschwindigkeit des Stabendes (gelbe Linie, v = r2*phi2') ist gleich der Geschwindigkeit des Rades auf der roten Linie (v = r1*phi1'). Das soll einen doch schon sehr wundern. Solange der Umfang von Gelb kleiner Rot sowie Rad und Ausleger miteinander verbunden sind, ist lediglich die Winkelgeschwindigkeit von Gelb und Rot gleich.
WO IST DENN NUN DIESER @!# DENKFEHLER!
Noch einmal die Frage: Reden wir und die Musterlösung von den gleichen Winkeln? Wie liegen phi1 und phi2?
Was in der Musterlösung steht, heißt ja so viel wie:
Die Geschwindigkeit v1 in m/s ist gleich der Geschwindigkeit des Stabendes (gelbe Linie, v = r2*phi2') ist gleich der Geschwindigkeit des Rades auf der roten Linie (v = r1*phi1'). Das soll einen doch schon sehr wundern. Solange der Umfang von Gelb kleiner Rot sowie Rad und Ausleger miteinander verbunden sind, ist lediglich die Winkelgeschwindigkeit von Gelb und Rot gleich.
WO IST DENN NUN DIESER @!# DENKFEHLER!
Zufälligerweise habe ich heute gemerkt, dass in der Übunsmitschrift alles, insb. die Winkellagen, ein wenig deutlicher dargestellt werden. Und dann gab's noch einen freundlichen Hinweis eines Komilitonen:
Wenn man den unteren Winkel also so komisch an die Bande quetscht, paßt das. Aber warum phi1 dann noch der Drehwinkel der Rolle sein soll, ist eine andere Frage.
(alpha meint phi2 und phi meint phi1)Der Denkfehler könnte darin liegen, dass ihr vergesst, dass die Bewgung der Kugel auf der Mittelpunkt der Kugel bezogen ist. D.h. die Stange bewegt den Mittelpunkt um R*aplha weiter, diese wiederum legt dann, diese Strecke mit r*phi zurück, weil es leichter geht ist es in der Musterlösung die Ebene durchgerechnet. Was weiterhin falsch ist, ist was bei Maltes Graphik offensichtlich wird, der Mittelpunkt verändert seinen Winkel zu Auflagepunkt, daher dreht die Rolle auch nicht so weit.
Wenn man den unteren Winkel also so komisch an die Bande quetscht, paßt das. Aber warum phi1 dann noch der Drehwinkel der Rolle sein soll, ist eine andere Frage.
Richtig ist, dass in der Beispiellösung die genaue Zuordnung der Winkel φ1 und φ2 fehlt. Diese habe ich aber in der Übung in einem Extra-Schaubild aufgezeichnet.
φ1 ist der Winkel der Rolle wenn sie sich um den Auflagepunkt dreht und φ2 ist der Winkel der Stange der bei einer Drehung überstreift wird.
Kinematik wird der Zusammenhang deswegen genannt, da er die kinematische Bindung beider Winkel mathematisch beschreibt. Das kann man für Wege, Geschwindigkeiten oder auch Beschleunigungen ausdrücken.
Wie hier schon richtig bemerkt wurde, besteht hier die Kopplung zwischen Stabende und Rollenmittelpunkt. Daher ist die Überlegung mit einem Radius von 5r nicht zulässig oder weiterführend. Wenn sich also das Stabende um 4r·φ2 bewegt, rollte die Rollen auf der Halfpipe ab und der Rollenmittelpunkt bewegt sich um r·φ1.
Es ist daher leichter sich die Verschiebung in der Halfpipe für kleine Auslenkungen aufzumalen und man wird zu der selben Überlegung kommen.
Burkhard
φ1 ist der Winkel der Rolle wenn sie sich um den Auflagepunkt dreht und φ2 ist der Winkel der Stange der bei einer Drehung überstreift wird.
Kinematik wird der Zusammenhang deswegen genannt, da er die kinematische Bindung beider Winkel mathematisch beschreibt. Das kann man für Wege, Geschwindigkeiten oder auch Beschleunigungen ausdrücken.
Wie hier schon richtig bemerkt wurde, besteht hier die Kopplung zwischen Stabende und Rollenmittelpunkt. Daher ist die Überlegung mit einem Radius von 5r nicht zulässig oder weiterführend. Wenn sich also das Stabende um 4r·φ2 bewegt, rollte die Rollen auf der Halfpipe ab und der Rollenmittelpunkt bewegt sich um r·φ1.
Es ist daher leichter sich die Verschiebung in der Halfpipe für kleine Auslenkungen aufzumalen und man wird zu der selben Überlegung kommen.
Burkhard