Moin,
also weil hier ja mittlerweile alle angefangen haben zu lernen wie es scheint:
Diese Aufgabe mit dem um a = sqrt(5) erweiterten Körper der rationalen Zahlen habe ich immer noch nicht so ganz verstanden. Wäre vielleicht jemand so nett, das noch einmal ausführlich hier vorzurechnen?
Wäre super!
S&A WS02/03 Aufgabe 11
Moderator: (M) Mod.-Team Allgemein
Also ich versuche das zu erklären, wie ich es verstanden habe:
Wir haben einen erweiterten Körper, wo es gilt: x^2 - 5 = 0.
Wichtig dabei ist das es Körper sei. Zb: Eine mit x^4-1 ist keine günstige Erweiterung(x^2-1 und x^2 +1 sind Nullteiler).
Nun suchen einen Polynom P in diesem Körper (also ax +b, denn Grad P musss < 2 sein.), so dass p*(2x - 4 ) = 1.
Es gibt also: (ax + b)*(2x - 4) = 2ax^2 + (-4a + 2b)x -4b
= 2a(5) + (-4a + 2b)x -4b
= (-4a + 2b)x + ( 10a -4b)
.. und das sollte gleich 1 sein, also gleich 0x+1 (polynom)
---> -4a + 2b = 0 und 10a -4b = 1 (2 Gleichungen und 2 Variablen).
a=0.5, b=1
Also das Invers von (2x - 4 ) = 0.5a +1
Kontrolle: (2x - 4 )*(0.5x +1)=x^2+(2 -2)x -4 = 5 - 4 =1
Wir haben einen erweiterten Körper, wo es gilt: x^2 - 5 = 0.
Wichtig dabei ist das es Körper sei. Zb: Eine mit x^4-1 ist keine günstige Erweiterung(x^2-1 und x^2 +1 sind Nullteiler).
Nun suchen einen Polynom P in diesem Körper (also ax +b, denn Grad P musss < 2 sein.), so dass p*(2x - 4 ) = 1.
Es gibt also: (ax + b)*(2x - 4) = 2ax^2 + (-4a + 2b)x -4b
= 2a(5) + (-4a + 2b)x -4b
= (-4a + 2b)x + ( 10a -4b)
.. und das sollte gleich 1 sein, also gleich 0x+1 (polynom)
---> -4a + 2b = 0 und 10a -4b = 1 (2 Gleichungen und 2 Variablen).
a=0.5, b=1
Also das Invers von (2x - 4 ) = 0.5a +1
Kontrolle: (2x - 4 )*(0.5x +1)=x^2+(2 -2)x -4 = 5 - 4 =1
Mann kann es sich auch einfacher machen, da ja auch weiterhin auch die "normalen" Rechenregeln gelten: [tex](2 \alpha- 4)^{-1} = \frac{2 \alpha + 4}{4 \alpha^2 - 16} = \frac{2 \alpha + 4}{4 \cdot 5 - 16} = \frac{1}{2} \alpha + 1[/tex]
Five exclamation marks, the sure sign of an insane mind. Terry Pratchett
Jupp, genauso hab ich das auch verstandenTaurin hat geschrieben:Mann kann es sich auch einfacher machen, da ja auch weiterhin auch die "normalen" Rechenregeln gelten: [tex](2 \alpha- 4)^{-1} = \frac{2 \alpha + 4}{4 \alpha^2 - 16} = \frac{2 \alpha + 4}{4 \cdot 5 - 16} = \frac{1}{2} \alpha + 1[/tex]
Allerdings hab ich ansonsten nicht viel verstanden
