Mathe 1 LA1

[BabaMC]

Hallo



Wie kann ich mir die zweite Aussage vorstellen? Wie habe ich das hoch 2 zu deuten?

Danke

MfG

[alpha2]

also das z muss auf der Kreisgleichung K liegen, wenn du dir den
Kreis mal aufzeichnest, wirst du feststellen, dass z.B. z = 4i
die K-Bedingung erfüllt.

das z setzt du dann ein (da ja z in der 2. Bedingung im Kreis K liegen soll):
[tex] w = z^2 = (4i)^2 [/tex]
[tex] |w| = |z^2| = | (4i)^2 | = | -16 | = 16 > 8 [/tex]

man sollte dafür allerdings ein gewisses Gefühl für Max/Min Punkte
auf sogn. Normalbereichen (wie einem (komplexem) Einheitskreis) haben.

Im allgemeinen bedeutet [tex]z \in \mathbb{C}[/tex] [tex]|z| = sqrt(Re \left{ z \right}^2 + Im \left{ z \right}^2) [/tex]
Das Quadrat ist einfach nur das Anwenden der binomischen Formel,
oder ausmultiplizieren

[BabaMC]

Danke schön.

[Rike]

Mit der Aufgabe habe ich auch so meine Schwierigkeiten:

Was für ein Kreis ist das beim ersten Punkt? Dass eine Multiplikation den Zeiger dreht, verstehe ich. Aber mir ist nicht ganz klar, wer in diesem Fall hier was um wen dreht...


alpha2, meinst du mit Min/Max-Punkte den Kreisrand? Das sollte ja hinzukriegen sein.

Wie siehst du, dass K bei der 2. Bedingung im Kreis liegen soll? Ist K² die Kreisfläche? Irgendwie komme ich gerade mit der Notation der Aufgabe nicht klar...

[Taurin]

Zur Notation bei 2: [tex]K^2[/tex] ist schlicht der Name der Menge, die dahinter noch weiter definiert wird. Man hätte hier die zwei auch als Index nach unten schieben können oder schlicht einen anderen Buchstaben wählen können.
[tex]\{z^2 : z \in K\}[/tex] Hier steht die zwei da oben tatsächlich für ein Quadrat bzw. für das Produkt [tex]z \cdot z[/tex]


Zu 1: [tex]z_1K[/tex] ist wieder schlicht der Name einer Menge. Zum Lösen der Aufgabe schreibst du dir mal hin [tex]z_1 = r\cdot e^{i\phi}[/tex] und überlegst noch mal, was es bedeutet, eine komplexe Zahl mt einer anderen mal zu nehmen. Du kannst auch erstmal versuchen, zu verstehen, dass die Menge immer noch ein Kreis ist, wenn a) [tex]\phi = 0[/tex] und b) [tex]\phi = 0.5 \pi[/tex].

edit:
Alternativ schaust du dir noch mal folgene Menge an: [tex]A = \{z_1 \cdot z \in C : \|z_1 \cdot z - 3i\| \leq 1\}[/tex]wobei z1 wieder eine feste, komplexe Zahl ist.

[alpha2]

also zur ersten Frage, naja [tex]z_1 = e^{\frac{\pi}{4} i}[/tex], z1 ist betragsmäßig 1, da es ja auf dem komplexen Einheitskreis liegt. (pi/4 ist gerade der Winkel, an dem sich sin und cos schneiden!)
Sprich z1 müsste durch die Multiplikation mit z um pi/4 = 45° mat. pos. drehen.

alpha2, meinst du mit Min/Max-Punkte den Kreisrand?

In dem Fall ist es sinnvoll sich den Kreisrand anzugucken, da dort die Zahlen betragsmäßig groß werden (genauer in diesem Fall betragsmäßig maximal),
das kann man generell aber nicht so sagen (hängt von der Frage ab), da hilft nur Übungsaufgaben machen, um ein gewisses Gefühl (das sogn. mathematische scharfe Hinsehen ) dafür zu bekommen.

Wie siehst du, dass K bei der 2. Bedingung im Kreis liegen soll?

K^2 ist so definiert, dass die z Werte ein Element von K sein sollen (sprich erstmal tief durchatmen und verstehen was K^2 sein soll)
also ich hab mir erstmal angeguckt, aus welchem Definitionsberich z überhaupt kommen kann, und da steht [tex]z \in K[/tex]
und danach was man mit dem z machen soll, sprich z soll quadriert werden und danach der Betrag genommen werden, da hier nach einem |w| >= gefragt wurde, hatte ich mir eben erstmal die Punkte auf dem Kreisrand angeguckt (da der Betrag ja maximal wird)

K^2 enthält alle Zahlen des Kreises im Quadrat, die Kreisfläche ist es aber definitiv nicht

[Rike]

Mannomann, eigentlich könnte man sich im dritten Semester ja mal langsam dran gewöhnt haben, dass die es einfach nicht lassen können, die Indizes oben zu schreiben. Aber hier stand ich erstmal wieder auf dem Schlauch...^^

Vielen herzlichen Dank für die schnellen und gründlichen Antworten!
Irgendwie verschlingt mich gerade die Müdigkeit, ich gucks mir also morgen in Ruhe an und frag dann im Zweifel nochmal nach. Aber so schlimm hört es sich in der Tat nicht an.

Juhu!

[BabaMC]

Hier kommt auch schon die nächste eigentlich nicht allzu schwere Frage.



Erneut die zweite Aussage. Ich kann dies graphisch, also durch zeichnen und etwas überlegen ermitteln.
Mit welcher Formel könnte ich das denn sonst nachrechnen, wenn die Werte etwas ungünstiger sind? Muss ich dafür span(v1,v2) anpassen?

MfG

BabaMC

[RoD]

v2 is die orthogonale projektion von v3 auf span {v1,v2}, das heisst wenn du v2 von v3 abziehst erhälst du einen vektor der orthogonal zu span{v1,v2} ist. dieser sollte ein vielfaches von dem normalenvektor, der ebene die durch span{v1,v2} aufgespannt wird, sein.
ist dies der fall, dann ist v2 die projektion.
den normalenvektor bekommst du ducrch das kruezprodukt von v1 und v2.

[Nic-HH]

Alternativ kannst du einfach die Projektion von [tex] v^3 [/tex] auf [tex] span\{v^1, v^2 \} [/tex] berechnen.

Das geht wie folgt:

[tex] p = v^3 - \frac{<v^3,v^1>}{<v^1,v^1>}v^1 - \frac{<v^3,v^2>}{<v^2,v^2>} v^2 [/tex]

Wenn dann [tex]p = v^2 [/tex] gilt, ist die Aussage wahr!