Schwerpunktsberechnung in Polarkoordinaten
Script S. 32
Wenn ich wie dort in dem Beispiel die Fläche über Polarkoordinaten berechnen möchte, kann ich ja den Ansatz in Karthesischen Koordinaten
dA = dx dy
ersetzen durch
dA = dr * r * dphi
Wie kommt dieses "r" hier hinein? Ich möchte doch über die beiden mir zu Verfügung stehenden Dimensionen, dem Winkel und dem Radius integrieren. (Analog zu dx dy). Wie ist also das "r" zu erklären?
Mechanik für ET: Schwerpunktsberechnung in Polarkoordinaten
Moderator: (M) Mod.-Team Allgemein
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Gast
aber ich habe mathe 3 auch nicht bestanden 
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martyn
Eine etwas einfachere Betrachtung (ohne Jacobimatrix) ist folgende:
Für kleine Winkel kann man die Bogenlänge db, die von dφ aufgespannt wird, durch eine Gerade annähern. Der sinus von dφ ist dann
&ensp sin(dφ) = db/r
Für kleine Winkel gilt
&ensp sin(dφ) ≈ dφ
Daraus folgt für die Bogenlänge
&ensp db = r⋅dφ
Für die Fläche dA (nach Skript S.32) ergibt sich dann
&ensp dA = dr⋅db = dr⋅r⋅dφ
Weniger kompliziert und die Betrachtung von kleinen Winkeln wird noch häufiger auf Euch zukommen.
Burkhard
Für kleine Winkel kann man die Bogenlänge db, die von dφ aufgespannt wird, durch eine Gerade annähern. Der sinus von dφ ist dann
&ensp sin(dφ) = db/r
Für kleine Winkel gilt
&ensp sin(dφ) ≈ dφ
Daraus folgt für die Bogenlänge
&ensp db = r⋅dφ
Für die Fläche dA (nach Skript S.32) ergibt sich dann
&ensp dA = dr⋅db = dr⋅r⋅dφ
Weniger kompliziert und die Betrachtung von kleinen Winkeln wird noch häufiger auf Euch zukommen.
Burkhard
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Gast
Du hast sicherlich folgendes gemeint:
sin(dφ) = db/r
Durch Annährung des Bogens an eine Gerade könnte man hier eine Dreiecksberechnung machen. Dann wäre der sin die Höhe. Die ist aber ganz anders definiert.
zustande?
Fast alles klar. Nur: Wie kommtmartyn hat geschrieben:Für kleine Winkel kann man die Bogenlänge db, die von dφ aufgespannt wird, durch eine Gerade annähern. Der sinus von dφ ist dann
sin(dφ) = db/r
Für kleine Winkel gilt
sin(dφ) ~~ dφ
Daraus folgt für die Bogenlänge
db = r dφ
Für die Fläche dA (nach Skript S.32) ergibt sich dann
dA = dr db = dr r dφ
sin(dφ) = db/r
Durch Annährung des Bogens an eine Gerade könnte man hier eine Dreiecksberechnung machen. Dann wäre der sin die Höhe. Die ist aber ganz anders definiert.
zustande?
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martyn
Die Herleitung für ein kleines Bogenelement angenähert durch eine Gerade kann man im Gross/Hauger/Schnell nachlesen. Mit etwas Geometrieberechnungen für kleine Winkel kommt die oben genannte Beziehung schon hin.
Etwas einfacher ist es vielleicht folgendermaßen:
Der Umfang eines Kreises ist 2·π·r, für einen Winkelausschnitt dφ nur dφ·r. Nähert man den Bogen durch eine Gerade, so ist die Gerade d&phi·r lang. daraus ergibt sich dann die oben benannte Fläche dA.
Ganz ohne Jacobi und Sinus.
Burkhard
Etwas einfacher ist es vielleicht folgendermaßen:
Der Umfang eines Kreises ist 2·π·r, für einen Winkelausschnitt dφ nur dφ·r. Nähert man den Bogen durch eine Gerade, so ist die Gerade d&phi·r lang. daraus ergibt sich dann die oben benannte Fläche dA.
Ganz ohne Jacobi und Sinus.
Burkhard