TalkING.

Schwerpunktsberechnung in Polarkoordinaten
Script S. 32

Wenn ich wie dort in dem Beispiel die Fläche über Polarkoordinaten berechnen möchte, kann ich ja den Ansatz in Karthesischen Koordinaten

dA = dx dy

ersetzen durch

dA = dr * r * dphi

Wie kommt dieses "r" hier hinein? Ich möchte doch über die beiden mir zu Verfügung stehenden Dimensionen, dem Winkel und dem Radius integrieren. (Analog zu dx dy). Wie ist also das "r" zu erklären?

Bei der Umrechnung von Karth. in Polarkoordinaten musst man doch in Analysis 3 immer noch die Determinate der Jacobimatrix miteinbeziehen und die ist bei Polarkoordinaten r
Genaueres müsstest du in den Analysis 3 Unterlagen suchen

ich kann rudi da nur zustimmen aber ich habe mathe 3 auch nicht bestanden

Ja, das ist der berühmte Transformationssatz (Ansorge / Oberle 2 S. 101):

int f(x) dx => int f(phi(u)) |det J(phi(u))| du

Wenn man das anwendet, müßte man eigentlich auf das r kommen. Eine besser begreifbare / anschaulichere Erklärung hab' ich leider auch nicht parat.

Eine etwas einfachere Betrachtung (ohne Jacobimatrix) ist folgende:

Für kleine Winkel kann man die Bogenlänge db, die von dφ aufgespannt wird, durch eine Gerade annähern. Der sinus von dφ ist dann

&ensp sin(dφ) = db/r

Für kleine Winkel gilt

&ensp sin(dφ) ≈ dφ

Daraus folgt für die Bogenlänge

&ensp db = r⋅dφ

Für die Fläche dA (nach Skript S.32) ergibt sich dann

&ensp dA = dr⋅db = dr⋅r⋅dφ

Weniger kompliziert und die Betrachtung von kleinen Winkeln wird noch häufiger auf Euch zukommen.

Burkhard

Du hast sicherlich folgendes gemeint:

martyn hat geschrieben:Für kleine Winkel kann man die Bogenlänge db, die von dφ aufgespannt wird, durch eine Gerade annähern. Der sinus von dφ ist dann

sin(dφ) = db/r

Für kleine Winkel gilt

sin(dφ) ~~ dφ

Daraus folgt für die Bogenlänge

db = r dφ

Für die Fläche dA (nach Skript S.32) ergibt sich dann

dA = dr db = dr r dφ

Fast alles klar. Nur: Wie kommt

sin(dφ) = db/r

Durch Annährung des Bogens an eine Gerade könnte man hier eine Dreiecksberechnung machen. Dann wäre der sin die Höhe. Die ist aber ganz anders definiert.

zustande?

Die Herleitung für ein kleines Bogenelement angenähert durch eine Gerade kann man im Gross/Hauger/Schnell nachlesen. Mit etwas Geometrieberechnungen für kleine Winkel kommt die oben genannte Beziehung schon hin.

Etwas einfacher ist es vielleicht folgendermaßen:
Der Umfang eines Kreises ist 2·π·r, für einen Winkelausschnitt dφ nur dφ·r. Nähert man den Bogen durch eine Gerade, so ist die Gerade d&phi·r lang. daraus ergibt sich dann die oben benannte Fläche dA.

Ganz ohne Jacobi und Sinus.

Burkhard

Und noch einfacher geht es so:

sin(dphi) = db/r
<=> r * sin(dphi) = db
über Sinussatz anschaulich.