Analysis: n-fach differenzierbare Funktionen

[happyhippo]

In Ansorge/Oberle steht auf S. 262:

Ist f(n) n-mal differenzierbar auf [a,b] und ist zudem die n-te Ableitung auf dem Intervall [a,b] stetig, so heißt f(x) n-fach steig differenzierbar oder eine C^n-Funktion.

Nehmen wir mal ein Beispiel:

f(x)=x^2
f'(x)=2*x
f''(x)=2
f'''(x)=0
f''''(x)=0 usw.

Im allgemeinen sagt man doch nun, die f(x) sei eine C^3-Funktion. Jede Ableitung von 0 erfüllt aber o.g. Forderungen. Damit wäre diese und jede andere Funktion oo oft differenzierbar. Existiert hier die Konvention, dass man mit Erreichen einer Ableitung = 0 aufhört?

[happyhippo]

Woanders heißt es auch

Stetige Funktionen f(x) nennt man auch C^0-Funktionen.

Wie paßt das zusammen?

[ole]

Woanders heißt es auch

Zitat:
Stetige Funktionen f(x) nennt man auch C^0-Funktionen.


Wie paßt das zusammen?

das passt doch toll oder nicht? wenn die funktion stetig ist ist sie c^0, wenn die ableitung stetig ist ist sie c^1

Damit wäre diese und jede andere Funktion oo oft differenzierbar

Dieser Schluss ist leider unzulässig
der witz bei der mathematik ist ja das wir nicht nur polynome berechnen... die sind (wahrscheinlich) alle c^oo

[XRays]

Also fassen wir zusammen:

Polynome der Form f(x)=a+b*x+c*x^2+... kann man theoretisch oo oft ableiten, weil die Ableitungen stets stetigs sind, also eigendlich C^oo -Funktionen, wenn man vom Differenzieren der Konstanten Funktionen absieht, also C^n-Funktionen.

Das Polynom g(x)=x^2 kann 2x abgeleitet werden, ohne dass eine konstante Fkt. differenziert wird (dies ist wohl Konvention). Demnach ist das also eine C^2-Funktion. Lt. obigen Satz von happyhippo düfte g(x) als stetige Fkt. aber nur C^1 sein. Also meiner Meinung nach doch ein Problem!

[ole]

Lt. obigen Satz von happyhippo düfte g(x) als stetige Fkt. aber nur C^1 sein

wieso das denn? weil eine stetige funktion c^0 ist?
wenn dann die ableitung (2x) stetig ist ist sie C^1
wenn dann die ableitung (2) stetig ist ist sie C^2

=> Die Funktion ist min. C^2

ich denke eher das dieser c^2-Kram erst bei partiellen Ableitungen wichtig ist (Analysis III) und das polynome immer c^oo sind

[XRays]

Nee, sorry, da habe ich mich versehen. Ich meine natürlich:

"Stetige Funktionen f(x) nennt man auch C^0-Funktionen."

Und: f(x) =x^2 ist mind. C^2. Außerdem ist sie stetig. Daraus folgt aber nun, dass f(x) nur C^0 ist. Widerspruch!

[ole]

ach jetzt verstehe ich dich... eine c^0 funktion kann natürlich zusätzlich auch C^1 sein=> eine c^oo funktion ist auch c^0,c^1,....

eine stetige funktion=c^0 ausserdem stetige ableitung=>auch c^1

[beta]

Wenn ihr beide recht habt, ist die Bezeichnung C^0 für stet. Funktionen ziemlich dämlich. Ihr habt gesagt: C^m Funktionen sind auch C^(m-1) bis C^(m-m). Dann hat aber die Aussage "t(x) ist eine C^d Funktion" nicht viel Aussagewert. Sicher ist nur, dass t dann d-fach differenzierbar ist. Womöglich aber auch viel öfter.

[ole]

genau das ist doch schon mal etwas